62.15 Física III – Física cuántica – ejercicios resueltos

En esta página voy a hablar de física cuántica. Estudiar esta materia es algo así como meterse en la Matrix: su estudio empezó con varios experimentos cuyos resultados no concordaban con la teoría clásica del electromagnetismo, que con el tiempo llevó a los científicos a cuestionarse si los conceptos más básicos estaban equivocados. Hubiera sido bueno que en la primera clase de esa materia hubiera venido Morpheus a preguntarnos si queríamos la pastilla azul o la roja, jajaja.

Voy a presentar las soluciones a los ejercicios planteados en el libro “Física cuántica” de Eisberg y Resnick, que en su momento tuve que leer para la Facultad.

Se asume que el lector tiene un conocimiento de la teoría electromecánica clásica y ha tenido contacto con los principales conceptos de la física cuántica. Se presentarán ejercicios seleccionados de aquellos contenidos en el libro y cuáles son los temas teóricos a estudiar para resolverlos.

Radiación térmica y el postulado de Planck

1. ¿A qué longitud de onda una cavidad a 6000°K radiará más por unidad de longitud de onda?

Para resolver esto se necesita conocer el hecho de que la energía total emitida por un cuerpo negro se deriva de una fórmula experimental que se llama Ley de Stefan:

$R_T=\sigma T^4$

A su vez, los resultados experimentales demuestran que a frecuencias bajas, la densidad de energía es baja, se alcanza un máximo a medida que las frecuencias aumentan, y luego empiezan a decrecer, para volver a tener una densidad de energía baja a frecuencias altas. También experimentalmente se ha determinado que la frecuencia máxima es directamente proporcional a la temperatura del cuerpo negro:

${\nu }_{max}\propto T$

Con la fórmula:

$\nu =\lambda /c$

podemos relacionar la frecuencia con la longitud de la onda electromagnética, y de ahí derivamos que:

${\lambda }_{max}T=Cons\tan te$

Esa constante se llama Constante de Wien y su valor, determinado experimentalmente, es 2.898 

${10}^{–3}m\hspace{0.17em}°K$

.

Con esa fórmula determinamos que:

${\lambda }_{max}=Cons/T = 4830 \AA$

5. a. Suponiendo que la temperatura en la superficie del sol es de 5700 °K, utilice la ley de Stefan para determinar la masa en reposo que se pierde por segundo en la radiación del sol. Tome el diámetro del sol como 1.4.10^9 m. b. Qué fracción de la masa en reposo del sol se pierde por año en radiación electromagnética? Suponga que la masa en reposo del sol es de 2.0.10^30 kg.

Otro ejercicio que nos vuela la cabeza en conceptos sobre la radiación de cuerpo negro. Todo empieza por la ley de Stefan enunciada más arriba, donde la constante ? tiene el valor:

$\sigma =5.67 x {10}^{–8} \frac{W}{m^2{K}^4}$

Con la temperatura de 5700 ºK como dato, tenemos que:

$R_T=59,85.{10}^6 W/m^2$

Esa es la potencia radiada por el sol por unidad de superficie. Ya que la potencia es energía por tiempo, de aquí podríamos deducir cuánta es la energía que emite el sol durante un año. Vamos a suponer un año de 365.2425 días, donde cada día es de 86400 segundos. Tenemos que la cantidad de segundos es un año es: 31556952. Esto lo dividimos por la potencia, y tenemos:

$E=59,85.{10}^{6}W/m^2 * 31556952 s = 1,88.{10}^{15} J/m^2$

Esa es la energía emitida por el sol durante un año, por unidad de superficie. Tomando en cuenta los datos dados para el diámetro del sol y considerándolo una esfera, tenemos que la superficie del sol es:

$S=4\pi R^2=4\mathrm{\pi }*1,4.{10}^9\mathrm{m} =6,15.{10}^{18}{\mathrm{m}}^2$

Ahora, multiplicamos la superficie por la energía radiada durante un año por unidad de superficie y tenemos que la energía total emitida por el sol durante un año es:

$E=1,16.{10}^{34}J$

Con la famosa ecuación de Einstein 

$E=m{c}^2$

, calculamos que esta energía representa:

$m=1,29.{10}^{17}kg$

Eso, frente a la masa del sol de 

$2.{10}^{30}kg$

, tenemos que la pérdida de masa del sol debido a la radiación electromagnética durante un año es:

$m_p=1,29.{10}^{17}kg/2.{10}^{30}kg = 6,46.{10}^{–12}\%$

O sea, vamos a tardar mucho, pero muuuuuuucho tiempo en quedarnos sin sol solamente a causa del efecto de su radiación.

6. En una explosión termonuclear, la temperatura en la bola de fuego es, momentáneamente, 10^7 °K. Encuentre la longitud de onda para la cual la radiación emitida es máxima.

Hablemos de armas atómicas termonucleares. Estos espantosos artefactos de destrucción masiva derivan la energía de la fusión de átomos de hidrógeno, y emiten todo un espectro de radiación electromagnética. Mediante la ley de Stefan podemos calcular cuál es la longitud de onda donde la potencia radiada es máxima.

${\lambda }_{max}T=Cons\tan te$

Esta vez nuestro dato es la temperatura, y ya conocemos el valor de la constante, 2,898.

${10}^{–3}m°K$

.

${\lambda }_{max}=2898 \AA$

Lo cual coloca la radiación en el rango de la radiación ultravioleta. O sea, es como recibir un bronceado mortal.